Nierówność (x² − x − 6)/(x² − 4) ≥ 0 - wspólny czynnik w liczniku i mianowniku

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \neq 0$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$.

Krok 2. Rozkład licznika. $x^2 - x - 6$ ma $\Delta = 1 + 24 = 25$ i pierwiastki $\dfrac{1 \pm 5}{2}$, czyli $3$ i $-2$:

$\frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} \ge 0.$

Krok 3. Iloczyn. Mnożymy licznik przez mianownik:

$(x - 3)(x + 2) \cdot (x - 2)(x + 2) = (x - 3)(x - 2)(x + 2)^2 \ge 0 \quad \text{i} \quad x \neq \pm 2.$

Krok 4. Wężyk. Pierwiastki $2$ i $3$ są pojedyncze, $-2$ - podwójny (odbicie). Wyraz najwyższego stopnia to $x^4$, start od prawej nad osią.

Krok 5. Odczyt. Iloczyn jest ujemny tylko między $2$ a $3$, w pozostałych miejscach nieujemny. Z rozwiązania usuwamy oba miejsca zerowe mianownika, $-2$ i $2$, a zostawiamy $3$ (zeruje sam licznik).

Uwaga: ułamek można skrócić przez $x + 2$ i rozwiązać $\dfrac{x - 3}{x - 2} \ge 0$, co daje $(-\infty;\ 2) \cup \langle 3;\ +\infty)$. Ale skrócenie nie zmienia dziedziny - liczbę $-2$ trzeba wyrzucić osobno. To najczęstszy błąd w tym zadaniu: odpowiedź bez „dziury” w $-2$.

Krok 6. Sprawdzenie. Dla $x = -3$: $\tfrac{9 + 3 - 6}{9 - 4} = \tfrac{6}{5} \ge 0$ - prawda. Dla $x = 2{,}5$: $\tfrac{-2{,}25}{2{,}25} = -1$ - fałsz.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 2) \cup \langle 3;\ +\infty)$.