Nierówność (3x − 1)/(x + 2) ≤ 2 - dlaczego nie mnożymy przez mianownik

Krok 1. Dziedzina. $x + 2 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Krok 2. Wszystko na jedną stronę. Odejmujemy $2$ i zapisujemy ją jako $\dfrac{2(x + 2)}{x + 2}$:

$\frac{3x - 1}{x + 2} - 2 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x - 1 - 2(x + 2)}{x + 2} \le 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x - 5}{x + 2} \le 0.$

Krok 3. Iloczyn. Nierówność jest równoważna warunkowi

$(x - 5)(x + 2) \le 0 \quad \text{i} \quad x \neq -2.$

Krok 4. Znak iloczynu. To trójmian o ramionach w górę i miejscach zerowych $-2$ i $5$ - jest niedodatni między nimi.

Krok 5. Końce przedziału. $x = 5$ zeruje licznik, ułamek jest wtedy równy $0 \le 0$ - należy. $x = -2$ zeruje mianownik - wypada.

Uwaga: pomnożenie nierówności przez $x + 2$ daje $3x - 1 \le 2x + 4$, czyli $x \le 5$. To błąd: dla $x = -3$ lewa strona wynosi $\tfrac{-10}{-1} = 10$, a $10 \le 2$ jest fałszem. Dla $x < -2$ mianownik jest ujemny i zwrot trzeba by odwrócić - właśnie stąd wzięły się fałszywe rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in (-2;\ 5\rangle$.