Nierówność 4/(x − 1) ≥ x + 2 - po przeniesieniu wielomian stopnia 3

Krok 1. Dziedzina. $x - 1 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Krok 2. Jedna strona i wspólny mianownik. Wyrażenie $x + 2$ zapisujemy jako $\dfrac{(x + 2)(x - 1)}{x - 1}$:

$\frac{4}{x - 1} - (x + 2) \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4 - (x + 2)(x - 1)}{x - 1} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-x^2 - x + 6}{x - 1} \ge 0.$

Po drodze: $(x + 2)(x - 1) = x^2 + x - 2$, więc $4 - (x^2 + x - 2) = -x^2 - x + 6$.

Krok 3. Rozkład licznika. Wyłączamy minus: $-x^2 - x + 6 = -(x^2 + x - 6)$. Trójmian $x^2 + x - 6$ ma $\Delta = 1 + 24 = 25$ i pierwiastki $\dfrac{-1 \pm 5}{2}$, czyli $2$ i $-3$:

$\frac{-(x + 3)(x - 2)}{x - 1} \ge 0.$

Krok 4. Iloczyn. $-(x + 3)(x - 2)(x - 1) \ge 0$ i $x \neq 1$.

Krok 5. Wężyk. Pierwiastki $-3$, $1$, $2$ - pojedyncze. Wyraz najwyższego stopnia to $-x^3$, start od prawej pod osią.

Krok 6. Odczyt. Nad osią lub na osi: $(-\infty;\ -3\rangle$ oraz $\langle 1;\ 2\rangle$, ale $1$ to miejsce zerowe mianownika - wypada.

Krok 7. Sprawdzenie. Dla $x = 1{,}5$: $\tfrac{4}{0{,}5} = 8 \ge 3{,}5$ - prawda. Dla $x = 0$: $-4 \ge 2$ - fałsz. Dla $x = -4$: $-0{,}8 \ge -2$ - prawda. Wszystko zgodne z odpowiedzią.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -3\rangle \cup (1;\ 2\rangle$.