Nierówność x/(x + 2) ≥ 3/(x − 2) - dwa ułamki i wężyk stopnia 4

Krok 1. Dziedzina. $x + 2 \neq 0$ i $x - 2 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$.

Krok 2. Wspólny mianownik. Przenosimy prawą stronę na lewo; wspólny mianownik to $(x + 2)(x - 2)$:

$\frac{x}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x(x - 2) - 3(x + 2)}{(x + 2)(x - 2)} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2 - 5x - 6}{(x + 2)(x - 2)} \ge 0.$

Krok 3. Rozkład licznika. $x^2 - 5x - 6$: $\Delta = 25 + 24 = 49$, pierwiastki $\dfrac{5 \pm 7}{2}$, czyli $6$ i $-1$. Stąd $x^2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)$.

Krok 4. Iloczyn.

$(x - 6)(x + 1)(x + 2)(x - 2) \ge 0 \quad \text{i} \quad x \neq \pm 2.$

Krok 5. Wężyk. Cztery pojedyncze pierwiastki: $-2$, $-1$, $2$, $6$. Wyraz najwyższego stopnia $x^4$ - start od prawej nad osią.

Krok 6. Odczyt. Nad osią lub na osi: $(-\infty;\ -2\rangle$, $\langle -1;\ 2\rangle$, $\langle 6;\ +\infty)$. Punkty $-2$ i $2$ zerują mianownik - zamieniamy przy nich nawiasy na okrągłe. Punkty $-1$ i $6$ zerują licznik - zostają.

Krok 7. Sprawdzenie. Dla $x = -3$: $\tfrac{-3}{-1} = 3 \ge \tfrac{3}{-5}$ - prawda. Dla $x = -1{,}5$: $\tfrac{-1{,}5}{0{,}5} = -3 \ge \tfrac{3}{-3{,}5} \approx -0{,}86$ - fałsz. Dla $x = 3$: $0{,}6 \ge 3$ - fałsz. Dla $x = 0$: $0 \ge -1{,}5$ - prawda.

Uwaga: „mnożenie na krzyż”, czyli $x(x - 2) \ge 3(x + 2)$, zakłada, że oba mianowniki są dodatnie. Dałoby $(x - 6)(x + 1) \ge 0$, czyli $x \le -1$ lub $x \ge 6$ - zbiór z fałszywym rozwiązaniem $x = -1{,}5$ i bez prawdziwego $x = 0$ (sprawdzenie wyżej).

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -2) \cup \langle -1;\ 2) \cup \langle 6;\ +\infty)$.