Nierówność podwójna −1 ≤ (2x − 1)/(x + 1) < 1

Krok 1. Dziedzina. $x + 1 \neq 0$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

Krok 2. Układ dwóch nierówności. Nierówność podwójna oznacza, że oba warunki muszą zachodzić jednocześnie:

$\frac{2x - 1}{x + 1} < 1 \quad \text{(1)} \qquad\text{i}\qquad \frac{2x - 1}{x + 1} \ge -1 \quad \text{(2)}.$

Uwaga: nie mnożymy „wszystkich trzech stron” przez $x + 1$ - jego znak jest nieznany, a dla $x < -1$ odwróciłyby się oba zwroty.

Krok 3. Nierówność (1). Przenosimy $1$ na lewą stronę:

$\frac{2x - 1 - (x + 1)}{x + 1} < 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x - 2}{x + 1} < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x - 2)(x + 1) < 0.$

Parabola o ramionach w górę i miejscach zerowych $-1$, $2$ jest ujemna między nimi: $x \in (-1;\ 2)$.

Krok 4. Nierówność (2). Przenosimy $-1$ na lewą stronę, czyli dodajemy $1$:

$\frac{2x - 1 + (x + 1)}{x + 1} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3x}{x + 1} \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x(x + 1) \ge 0 \ \text{ i } \ x \neq -1.$

Parabola $3x(x + 1)$ jest nieujemna poza przedziałem $(-1;\ 0)$. Liczba $0$ należy (licznik), $-1$ nie (mianownik): $x \in (-\infty;\ -1) \cup \langle 0;\ +\infty)$.

Krok 5. Część wspólna.

$(-1;\ 2) \cap \big((-\infty;\ -1) \cup \langle 0;\ +\infty)\big) = \langle 0;\ 2).$

Krok 6. Sprawdzenie końców. Dla $x = 0$: $\tfrac{-1}{1} = -1$, a $-1 \le -1 < 1$ - prawda. Dla $x = 2$: $\tfrac{3}{3} = 1$, a $1 < 1$ - fałsz. Dla $x = -2$: $\tfrac{-5}{-1} = 5$ - nie mieści się w $\langle -1;\ 1)$, zgodnie z odpowiedzią.

Odpowiedź. $x \in \langle 0;\ 2)$.