Dowodzenie: 1/(√2 − 1) − √2 jest liczbą całkowitą

Krok 1. Usuwamy niewymierność z mianownika. Mnożymy ułamek przez sprzężenie $\sqrt{2} + 1$; mianownik liczymy ze wzoru $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\left(\sqrt{2}\right)^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1.$

Krok 2. Wracamy do całego wyrażenia i odejmujemy $\sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{2} = \left(\sqrt{2} + 1\right) - \sqrt{2}.$

Krok 3. Redukujemy $+\sqrt{2}$ z $-\sqrt{2}$:

$\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1.$

Wniosek. Otrzymaliśmy $1$ - liczbę całkowitą.

Odpowiedź. Liczba jest równa $1$, więc jest całkowita. $\blacksquare$