Dowodzenie: (√5 + √2)² − 2√10 jest liczbą całkowitą

Krok 1. Rozwijamy kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ z $a = \sqrt{5}$, $b = \sqrt{2}$:

$\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^2 = \left(\sqrt{5}\right)^2 + 2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2.$

Krok 2. Liczymy wyrazy. Skrajne: $\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5$, $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$. Środkowy łączymy pod jednym pierwiastkiem: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} = \sqrt{10}$, więc

$\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right)^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}.$

Krok 3. Odejmujemy $2\sqrt{10}$ - dokładnie ten sam składnik niewymierny znika:

$\left(7 + 2\sqrt{10}\right) - 2\sqrt{10} = 7.$

Wniosek. Otrzymaliśmy $7$ - liczbę całkowitą.

Odpowiedź. Liczba jest równa $7$, więc jest całkowita. $\blacksquare$