Dowodzenie: (2 + √3)² + (2 − √3)² jest liczbą całkowitą

Szkoła średnia średnie

Wykaż, że liczba $\left(2 + \sqrt{3}\right)^2 + \left(2 - \sqrt{3}\right)^2$ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Rozwijamy oba kwadraty ( $\left(\sqrt{3}\right)^2 = 3$ ):

$\left(2 + \sqrt{3}\right)^2 = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 7 + 4\sqrt{3},$

$\left(2 - \sqrt{3}\right)^2 = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = 7 - 4\sqrt{3}.$

Krok 2. Dodajemy. Składniki niewymierne $+4\sqrt{3}$ i $-4\sqrt{3}$ znoszą się:

$\left(7 + 4\sqrt{3}\right) + \left(7 - 4\sqrt{3}\right) = 14.$

Wniosek. Otrzymaliśmy $14$ - liczbę całkowitą. To kończy dowód.

Odpowiedź. Liczba jest równa $14$ , więc jest całkowita. $\blacksquare$