Kiedy układ z parametrem jest oznaczony, a kiedy nieoznaczony

Krok 1. Eliminujemy $x$. Mnożymy pierwsze równanie przez $2$:

$4x + 2y = 6.$

Odejmujemy od niego drugie równanie stronami:

$(2 - m)y = 0.$

Krok 2. Przypadek $m \ne 2$. Wtedy $2 - m \ne 0$, więc $y = 0$, a z pierwszego równania:

$2x + 0 = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{3}{2}.$

Układ jest oznaczony - ma dokładnie jedno rozwiązanie $\left(\tfrac{3}{2},\ 0\right)$.

Krok 3. Przypadek $m = 2$. Zostaje $0 \cdot y = 0$, co jest prawdą dla każdego $y$. Drugie równanie ma wtedy postać $4x + 2y = 6$, czyli jest podwojonym pierwszym - opisuje tę samą prostą. Układ jest nieoznaczony, a rozwiązań jest nieskończenie wiele:

$y \in \mathbb{R}, \qquad x = \frac{3 - y}{2}.$

Krok 4. Czy układ może być sprzeczny? Musiałoby zostać $0 =$ liczba różna od zera, a prawa strona po eliminacji jest równa zeru niezależnie od $m$. Taka sytuacja nie zachodzi.

Odpowiedź. Dla $m \ne 2$ układ oznaczony; dla $m = 2$ nieoznaczony; sprzeczny nigdy.