Dyskusja równania (m² − 9)x = m − 3

Krok 1. Wartości krytyczne. Przyrównujemy współczynnik przy $x$ do zera:

$m^2 - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -3 \ \text{ lub } \ m = 3.$

Krok 2. Przypadek $m \ne -3$ i $m \ne 3$. Dzielimy i skracamy ułamek:

$x = \frac{m-3}{m^2-9} = \frac{m-3}{(m-3)(m+3)} = \frac{1}{m+3}.$

Skracanie jest dozwolone, bo w tym przypadku $m \ne 3$.

Krok 3. Przypadek $m = 3$. Podstawiamy do równania wyjściowego:

$0 \cdot x = 0,$

co jest prawdą dla każdej liczby $x$. Równanie jest tożsamościowe.

Krok 4. Przypadek $m = -3$.

$0 \cdot x = -6, \qquad \text{czyli} \qquad 0 = -6 \quad \text{- sprzeczność}.$

Odpowiedź. Dla $m \notin \{-3, 3\}$ jedno rozwiązanie $x = \frac{1}{m+3}$; dla $m = 3$ rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista; dla $m = -3$ równanie jest sprzeczne.