Wyznacz p i q: wykres y = log₂(x − p) + q ma asymptotę x = −3 i przechodzi przez (1, 4)

Krok 1. Parametr $p$ z asymptoty. Wykres $y = \log_2 x$ ma asymptotę $x = 0$. Przesunięcie o $p$ w poziomie przenosi ją do $x = p$. Skoro asymptotą jest $x = -3$, to $p = -3$ i

$f(x) = \log_2 (x + 3) + q.$

Krok 2. Parametr $q$ z punktu. Punkt $A = (1, 4)$ leży na wykresie, więc $f(1) = 4$:

$\log_2 (1 + 3) + q = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2 + q = 4 \quad\Longrightarrow\quad q = 2.$

Zatem $f(x) = \log_2 (x + 3) + 2$.

Krok 3. Miejsce zerowe.

$\log_2 (x + 3) + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \log_2 (x + 3) = -2 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 = 2^{-2} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{11}{4}.$

Liczba $-\frac{11}{4} = -2{,}75$ leży w dziedzinie $(-3, +\infty)$.

Krok 4. Przecięcie z osią $OY$.

$f(0) = \log_2 3 + 2 \approx 3{,}58.$

Sprawdzenie. $f\left(-\frac{11}{4}\right) = \log_2 \frac{1}{4} + 2 = -2 + 2 = 0$. $\checkmark$

Odpowiedź. a) $p = -3$, $q = 2$, czyli $f(x) = \log_2 (x + 3) + 2$; b) miejsce zerowe $x = -\frac{11}{4}$, przecięcie z osią $OY$ w punkcie $(0, 2 + \log_2 3)$.