Liczba rozwiązań równania |log₂(x + 1)| = m w zależności od parametru m

Krok 1. Metoda graficzna. Liczba rozwiązań równania $f(x) = m$ to liczba punktów wspólnych wykresu $y = f(x)$ z poziomą prostą $y = m$. Rysujemy więc wykres $f(x) = \left|\log_2 (x + 1)\right|$.

Krok 2. Budowa wykresu. Wykres $y = \log_2 x$ przesuwamy o $1$ w lewo - asymptota $x = -1$, dziedzina $(-1, +\infty)$, miejsce zerowe $x = 0$. Część dla $x \in (-1, 0)$ leży pod osią $OX$, więc odbijamy ją do góry.

Krok 3. Przesuwamy prostą $y = m$.

• $m < 0$: prosta leży pod osią $OX$, a wykres nie ma punktów pod osią - brak rozwiązań;
• $m = 0$: prosta to oś $OX$, wspólny jest tylko punkt $(0, 0)$ - jedno rozwiązanie $x = 0$;
• $m > 0$: prosta przecina obie części wykresu - lewą (malejącą, która rośnie nieograniczenie przy asymptocie) i prawą (rosnącą bez ograniczenia) - dwa rozwiązania.

Krok 4. Rachunek dla $m > 0$. Moduł równa się $m$, gdy wyrażenie wynosi $m$ lub $-m$:

$\log_2 (x + 1) = m \ \Longrightarrow\ x = 2^{m} - 1, \qquad \log_2 (x + 1) = -m \ \Longrightarrow\ x = 2^{-m} - 1.$

Dla $m > 0$ to dwie różne liczby większe od $-1$ - zgodnie z rysunkiem.

Krok 5. Przypadek $m = 1$. $x = 2^1 - 1 = 1$ oraz $x = 2^{-1} - 1 = -\frac{1}{2}$.

Odpowiedź. Brak rozwiązań dla $m < 0$, jedno rozwiązanie ($x = 0$) dla $m = 0$, dwa rozwiązania dla $m > 0$. Dla $m = 1$: $x = -\frac{1}{2}$ lub $x = 1$.