Wykres y = log₂|x| - dziedzina, parzystość, miejsca zerowe i równanie log₂|x| = 2

Krok 1. Dziedzina. Liczba logarytmowana $|x|$ musi być dodatnia, a $|x| > 0$ dla każdego $x \ne 0$:

$D = \mathbb{R} \setminus \{0\}.$

Krok 2. Symetria. Dla każdego $x$ z dziedziny $g(-x) = \log_2 |-x| = \log_2 |x| = g(x)$ - funkcja jest parzysta, jej wykres jest symetryczny względem osi $OY$. Wystarczy narysować $y = \log_2 x$ dla $x > 0$ i odbić go względem osi $OY$. To przekształcenie $y = f(|x|)$ - inne niż $y = |f(x)|$.

Krok 3. Rysunek.

Krok 4. Własności.

• zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (każda gałąź przyjmuje wszystkie wartości);
• miejsca zerowe: $\log_2 |x| = 0 \iff |x| = 1 \iff x = -1$ lub $x = 1$;
• malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$, rosnąca w przedziale $(0, +\infty)$.

Uwaga: w całej dziedzinie $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ funkcja nie jest monotoniczna, np. $g(-4) = g(4)$ - przedziały monotoniczności podajemy osobno.

Krok 5. Równanie $\log_2 |x| = 2$.

$\log_2 |x| = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad |x| = 2^2 = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x = -4 \ \text{lub}\ x = 4.$

Odpowiedź. $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $ZW = \mathbb{R}$, miejsca zerowe $-1$ i $1$, funkcja malejąca w $(-\infty, 0)$ i rosnąca w $(0, +\infty)$; równanie $g(x) = 2$ ma rozwiązania $x = -4$ i $x = 4$.