Wykres f(x) = logₐx przechodzi przez punkt (1/9, 2) - wyznacz podstawę a

Krok 1. Równanie na podstawę. Punkt leży na wykresie, więc $f\left(\frac{1}{9}\right) = 2$. Z definicji logarytmu:

$\log_a \frac{1}{9} = 2 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 = \frac{1}{9}.$

Krok 2. Wybór rozwiązania. Równanie $a^2 = \frac{1}{9}$ ma rozwiązania $a = \frac{1}{3}$ i $a = -\frac{1}{3}$. Podstawa logarytmu musi być dodatnia, więc $a = \frac{1}{3}$. Ponieważ $0 < \frac{1}{3} < 1$, funkcja $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ jest malejąca.

Krok 3. Wartość $f(27)$. Szukamy wykładnika: $\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27 = 3^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$, więc

$f(27) = \log_{\frac{1}{3}} 27 = -3.$

Krok 4. Punkt $\left(\sqrt{3}, -\frac{1}{2}\right)$. Obliczamy $f\left(\sqrt{3}\right)$: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}}$, więc $f\left(\sqrt{3}\right) = -\frac{1}{2}$ - punkt należy do wykresu.

Krok 5. Wartości dodatnie. Funkcja maleje i ma miejsce zerowe $x = 1$, więc na lewo od jedynki leży nad osią $OX$:

$\log_{\frac{1}{3}} x > 0 = \log_{\frac{1}{3}} 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 < x < 1.$

Przy podstawie mniejszej od $1$ nierówność między argumentami jest odwrotna niż między wartościami - i to z uwzględnieniem dziedziny $x > 0$.

Odpowiedź. a) $a = \frac{1}{3}$, funkcja malejąca; b) $f(27) = -3$, punkt $\left(\sqrt{3}, -\frac{1}{2}\right)$ należy do wykresu; c) $f(x) > 0$ dla $x \in (0, 1)$.