Symetria wykresu logarytmu: y = −log₃x i y = log₃(−x)

Krok 1. Wzory. Symetria względem osi $OX$ zmienia znak wartości: $g(x) = -f(x)$. Symetria względem osi $OY$ zmienia znak argumentu: $h(x) = f(-x)$. Zatem

$g(x) = -\log_3 x, \qquad h(x) = \log_3 (-x).$

Krok 2. Funkcja $g$. Dziedzina się nie zmienia: $D_g = (0, +\infty)$. Miejsce zerowe zostaje $x = 1$ (punkt na osi $OX$ jest swoim odbiciem). Funkcja $f$ rośnie, więc $g = -f$ maleje. Ze wzoru na zamianę podstawy $-\log_3 x = \log_{\frac{1}{3}} x$ - to po prostu logarytm o podstawie $\frac{1}{3}$.

Krok 3. Funkcja $h$. Liczba logarytmowana musi być dodatnia: $-x > 0$, czyli $D_h = (-\infty, 0)$. Miejsce zerowe: $\log_3 (-x) = 0 \iff -x = 1 \iff x = -1$. Gdy $x$ rośnie w stronę zera, liczba $-x$ maleje, a z nią $\log_3 (-x)$ - funkcja $h$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$.

Krok 4. Obrazy punktu $(3, 1)$. W symetrii względem osi $OX$ punkt $(x, y)$ przechodzi w $(x, -y)$, a względem osi $OY$ - w $(-x, y)$:

$(3, 1) \ \xrightarrow{\ OX\ }\ (3, -1), \qquad (3, 1) \ \xrightarrow{\ OY\ }\ (-3, 1).$

Sprawdzenie: $g(3) = -\log_3 3 = -1$ oraz $h(-3) = \log_3 3 = 1$. $\checkmark$

Krok 5. Rysunek.

Odpowiedź. a) $g(x) = -\log_3 x$, $h(x) = \log_3(-x)$; b) $g$: dziedzina $(0, +\infty)$, miejsce zerowe $1$, malejąca; $h$: dziedzina $(-\infty, 0)$, miejsce zerowe $-1$, malejąca; c) $(3, -1)$ na wykresie $g$ i $(-3, 1)$ na wykresie $h$.