Wykres y = |log₃x| - zbiór wartości, monotoniczność i równanie |log₃x| = 1

Krok 1. Jak powstaje wykres. Wartość bezwzględna nie zmienia liczb nieujemnych, a ujemnym zmienia znak. Rysujemy więc wykres $y = \log_3 x$ i część leżącą pod osią $OX$ odbijamy symetrycznie do góry. Dla podstawy $3 > 1$ pod osią leży fragment dla $x \in (0, 1)$.

Krok 2. Rysunek.

Krok 3. Własności z wykresu.

• dziedzina: $(0, +\infty)$ - wartość bezwzględna jej nie zmienia;
• zbiór wartości: $[0, +\infty)$ - po odbiciu żadna wartość nie jest ujemna, a każda nieujemna jest osiągana;
• miejsce zerowe: $x = 1$, bo $\log_3 1 = 0$;
• monotoniczność: malejąca w przedziale $(0, 1]$ (odbity fragment), rosnąca w przedziale $[1, +\infty)$.

Krok 4. Równanie $\left|\log_3 x\right| = 1$. Moduł liczby równa się $1$, gdy liczba wynosi $1$ albo $-1$:

$\log_3 x = 1 \ \Longrightarrow\ x = 3, \qquad \log_3 x = -1 \ \Longrightarrow\ x = 3^{-1} = \frac{1}{3}.$

Obie liczby są dodatnie, więc należą do dziedziny. Na rysunku to dwa punkty przecięcia z prostą $y = 1$.

Odpowiedź. $ZW = [0, +\infty)$, miejsce zerowe $x = 1$, funkcja malejąca w $(0, 1]$ i rosnąca w $[1, +\infty)$; równanie $f(x) = 1$ ma rozwiązania $x = \frac{1}{3}$ i $x = 3$.