Przekrój sześcianu płaszczyzną przez środki dwóch krawędzi i wierzchołek - trójkąt KLA₁

Krok 1. Jaka to figura. Płaszczyzna przecina trzy ściany zbiegające się w wierzchołku $A$ (podstawę i dwie ściany boczne), więc przekrój to trójkąt $KLA_1$. Odcina on od sześcianu mały narożny czworościan $AKLA_1$.

Krok 2. Boki. $|AK| = |AL| = 3$, $|AA_1| = 6$, a krawędzie z wierzchołka $A$ są parami prostopadłe:

$|KL| = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}, \qquad |KA_1| = |LA_1| = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$

Trójkąt jest równoramienny.

Krok 3. Wysokość trójkąta. Wysokość $A_1M$ spada na środek $M$ podstawy $KL$:

$|A_1M| = \sqrt{|KA_1|^2 - \left(\frac{|KL|}{2}\right)^2} = \sqrt{45 - \frac{18}{4}} = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{2}.$

Krok 4. Pole.

$P = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{27 \cdot 2}{4} = \frac{27}{2} = 13{,}5.$

Odpowiedź. $P = \frac{27}{2} = 13{,}5$.