Przekrój sześcianu płaszczyzną przez środki sześciu krawędzi - sześciokąt foremny

Krok 1. Współrzędne. Umieśćmy sześcian w układzie: $A = (0, 0, 0)$, $B = (2, 0, 0)$, $C = (2, 2, 0)$, $D = (0, 2, 0)$, a górna podstawa na wysokości $2$. Wtedy

$K = (1, 0, 0), \qquad L = (2, 1, 0), \qquad M = (2, 2, 1).$

Krok 2. Równanie płaszczyzny. Szukamy płaszczyzny $x - y + z = d$ (taki kształt podpowiada symetria). Dla $K$: $1 - 0 + 0 = 1$, dla $L$: $2 - 1 + 0 = 1$, dla $M$: $2 - 2 + 1 = 1$. Wszystkie trzy punkty spełniają równanie

$x - y + z = 1.$

Krok 3. Pozostałe punkty przekroju. Sprawdzamy środki innych krawędzi:

• środek $N$ krawędzi $C_1D_1$: $(1, 2, 2)$, bo $1 - 2 + 2 = 1$;
• środek $P$ krawędzi $D_1A_1$: $(0, 1, 2)$, bo $0 - 1 + 2 = 1$;
• środek $R$ krawędzi $A_1A$: $(0, 0, 1)$, bo $0 - 0 + 1 = 1$.

Płaszczyzna przecina więc sześć ścian sześcianu i przekrój jest sześciokątem $KLMNPR$.

Krok 4. Boki i kąty. Każdy bok łączy środki dwóch krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka i jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $1$ i $1$, np.

$|KL| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$

Tak samo $|LM| = |MN| = |NP| = |PR| = |RK| = \sqrt{2}$. Wszystkie wierzchołki są też jednakowo oddalone od środka sześcianu $(1, 1, 1)$ - o $\sqrt{2}$ - więc sześciokąt jest wpisany w okrąg, a przy równych bokach to sześciokąt foremny.

Krok 5. Pole. Sześć trójkątów równobocznych o boku $\sqrt{2}$:

$P = 6 \cdot \frac{\left(\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2.$

Odpowiedź. Przekrój jest sześciokątem foremnym o boku $\sqrt{2}$ i polu $3\sqrt{3} \approx 5{,}2$.