Przekrój graniastosłupa prawidłowego czworokątnego płaszczyzną przez przekątną podstawy i wierzchołek - pole i kąt nachylenia

Szkoła średnia średnie

Graniastosłup prawidłowy czworokątny $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$ . Przecięto go płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy $AC$ i wierzchołek $B_1$ . Oblicz pole przekroju oraz tangens kąta $\alpha$ , jaki płaszczyzna przekroju tworzy z płaszczyzną podstawy.

Przekrój ACB₁ to trójkąt równoramienny. Kąt α między płaszczyzną przekroju a podstawą to kąt BOB₁ (O - środek podstawy, BO ⊥ AC i B₁O ⊥ AC).

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Jaka to figura. Przekrój to trójkąt $ACB_1$ . Ramiona $AB_1$ i $CB_1$ są przekątnymi przystających ścian bocznych, więc trójkąt jest równoramienny, a jego wysokość $B_1O$ spada na środek $O$ podstawy $AC$ .

Krok 2. Długości. $O$ jest środkiem kwadratu, więc

$|AC| = 6\sqrt{2}, \qquad |BO| = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}, \qquad |B_1O| = \sqrt{|BO|^2 + |BB_1|^2} = \sqrt{18 + 16} = \sqrt{34}.$

Krok 3. Pole przekroju.

$P = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{34} = 3\sqrt{68} = 6\sqrt{17} \approx 24{,}7.$

Krok 4. Kąt z podstawą. Obie płaszczyzny zawierają prostą $AC$ . Odcinek $BO$ (w podstawie) i odcinek $B_1O$ (w przekroju) są prostopadłe do $AC$ w tym samym punkcie $O$ , więc kąt między płaszczyznami to $\alpha = |\angle BOB_1|$ . W trójkącie prostokątnym $BOB_1$ :

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{|BB_1|}{|BO|} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0{,}943, \qquad \alpha \approx 43^\circ.$

Odpowiedź. $P = 6\sqrt{17} \approx 24{,}7$ , $\operatorname{tg} \alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (czyli $\alpha \approx 43^\circ$ ).

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →