Przekrój sześcianu płaszczyzną przez przekątną BD i środek krawędzi C₁D₁ - trapez

Krok 1. Konstrukcja. Płaszczyzna przekroju przecina dwie równoległe płaszczyzny podstaw wzdłuż prostych równoległych. W dolnej podstawie śladem jest $BD$, więc w górnej podstawie prowadzimy przez $M$ prostą równoległą do $BD$ (czyli do $B_1D_1$). Przecina ona krawędź $B_1C_1$ w punkcie $N$ - z twierdzenia Talesa w trójkącie $B_1C_1D_1$ jest to środek $B_1C_1$, bo $M$ jest środkiem $C_1D_1$. Przekrój to czworokąt $BDMN$ z $MN \parallel BD$ - trapez.

Krok 2. Podstawy trapezu. $MN$ łączy środki boków trójkąta $B_1C_1D_1$, więc jest połową $B_1D_1$:

$|BD| = 4\sqrt{2}, \qquad |MN| = 2\sqrt{2}.$

Krok 3. Ramiona. $|D_1M| = |B_1N| = 2$, a krawędzie boczne mają długość $4$:

$|DM| = \sqrt{|DD_1|^2 + |D_1M|^2} = \sqrt{16 + 4} = 2\sqrt{5} = |BN|.$

Ramiona są równe - trapez jest równoramienny.

Krok 4. Wysokość trapezu. Rzut ramienia na dłuższą podstawę ma długość $\frac{|BD| - |MN|}{2} = \sqrt{2}$:

$h = \sqrt{\left(2\sqrt{5}\right)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} = \sqrt{20 - 2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.$

Krok 5. Pole.

$P = \frac{4\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 18.$

Odpowiedź. Przekrój jest trapezem równoramiennym $BDMN$ ($N$ - środek $B_1C_1$) o polu $18$.