Przekrój sześcianu płaszczyzną A₁BC₁ - trójkąt równoboczny, pole

Szkoła średnia średnie

Sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$ o krawędzi $4$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki $A_1$ , $B$ i $C_1$ . Uzasadnij, że przekrój jest trójkątem równobocznym, i oblicz jego pole.

Boki trójkąta A₁BC₁ to przekątne trzech ścian sześcianu, więc mają równe długości 4√2.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Boki przekroju. Każdy bok trójkąta $A_1BC_1$ jest przekątną jednej ściany sześcianu: $A_1B$ - ściany przedniej $ABB_1A_1$ , $BC_1$ - ściany bocznej $BCC_1B_1$ , $A_1C_1$ - górnej podstawy. Wszystkie ściany to przystające kwadraty o boku $4$ , więc

$|A_1B| = |BC_1| = |A_1C_1| = 4\sqrt{2}.$

Trójkąt ma trzy równe boki - jest równoboczny.

Krok 2. Pole.

$P = \frac{\left(4\sqrt{2}\right)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9.$

Odpowiedź. $P = 8\sqrt{3} \approx 13{,}9$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →