Równanie cos 2x = sin x w przedziale ⟨0; 2π⟩ - wzór na cosinus podwojonego kąta

Krok 1. Jeden kąt i jedna funkcja. Spośród trzech postaci $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$ wybieramy tę z samym sinusem, bo po prawej stronie stoi $\sin x$:

$1 - 2\sin^2 x = \sin x \quad \Longleftrightarrow \quad 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0.$

Krok 2. Podstawienie $t = \sin x$, $t \in \langle -1;\ 1\rangle$:

$2t^2 + t - 1 = 0, \qquad \Delta = 1 + 8 = 9, \qquad t_1 = \frac{-1 - 3}{4} = -1, \quad t_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}.$

Krok 3. $\sin x = \frac{1}{2}$ daje w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ liczby $x = \frac{\pi}{6}$ i $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Krok 4. $\sin x = -1$ daje jedno rozwiązanie w przedziale: $x = \frac{3\pi}{2}$ (najniższy punkt sinusoidy).

Krok 5. Sprawdzenie dla $x = \frac{3\pi}{2}$: $\cos 3\pi = -1$ i $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$.

Odpowiedź. $x \in \left\{ \frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{3\pi}{2} \right\}$.

Ogólnie (bez przedziału): $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. Wybór postaci $2\cos^2 x - 1$ zostawiłby w równaniu dwie różne funkcje i zmuszał do kolejnej zamiany.