Równanie cos 3x + cos x = 0 i liczba jego rozwiązań w ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Suma na iloczyn. Połowa sumy kątów $3x$ i $x$ to $2x$, połowa różnicy - $x$:

$\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x = 0.$

Krok 2. Pierwszy czynnik. $\cos 2x = 0$ daje $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, czyli

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Przy argumencie $2x$ okres serii też dzielimy przez 2 - częsty błąd to zapis $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$, który gubi połowę rozwiązań.

Krok 3. Drugi czynnik. $\cos x = 0$ daje $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Krok 4. Czy serie się pokrywają? Liczby z pierwszej serii to nieparzyste wielokrotności $\frac{\pi}{4}$, z drugiej - nieparzyste wielokrotności $\frac{\pi}{2}$, czyli parzyste wielokrotności $\frac{\pi}{4}$. Serie są rozłączne.

Krok 5. Przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Z pierwszej serii ($k = 0, 1, 2, 3$): $\frac{\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{7\pi}{4}$. Z drugiej ($k = 0, 1$): $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$. Razem sześć liczb.

Krok 6. Sprawdzenie dla $x = \frac{\pi}{4}$: $\cos\frac{3\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ lub $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. W przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ równanie ma 6 rozwiązań: $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\frac{5\pi}{4}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{7\pi}{4}$.