Równanie 2cos²x + 5sin x − 4 = 0 - jedynka trygonometryczna i podstawienie

Krok 1. Jedna funkcja. W równaniu jest $\cos^2 x$ i $\sin x$. Zamieniamy kwadrat cosinusa z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$2(1 - \sin^2 x) + 5\sin x - 4 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad -2\sin^2 x + 5\sin x - 2 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0.$

Krok 2. Podstawienie $t = \sin x$, $t \in \langle -1;\ 1\rangle$:

$2t^2 - 5t + 2 = 0, \qquad \Delta = 25 - 16 = 9, \qquad t_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{5 + 3}{4} = 2.$

Krok 3. Warunek $|t| \le 1$. Pierwiastek $t_2 = 2$ odrzucamy - sinus nie przyjmuje wartości większych od 1. Zostaje $\sin x = \frac{1}{2}$.

Krok 4. Równanie elementarne. $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, a drugi kąt o tym samym sinusie to $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$:

$x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 5. Sprawdzenie dla $x = \frac{\pi}{6}$: $2 \cdot \frac{3}{4} + 5 \cdot \frac{1}{2} - 4 = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} - 4 = 0$.

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ lub $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, gdzie $k \in \mathbb{Z}$.

Uwaga: zamiana w drugą stronę ($\sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$) wprowadziłaby pierwiastek i dwa znaki - zawsze zamieniamy kwadrat funkcji, a funkcję w pierwszej potędze zostawiamy.