Równanie 2cos²x = cos x - rozkład na czynniki zamiast dzielenia

Krok 1. Wszystko na jedną stronę i wyłączenie przed nawias:

$2\cos^2 x - \cos x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos x\,(2\cos x - 1) = 0.$

Krok 2. Pierwszy czynnik. $\cos x = 0$ daje $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Krok 3. Drugi czynnik. $2\cos x - 1 = 0$, czyli $\cos x = \frac{1}{2}$. Ponieważ $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, a cosinus jest parzysty:

$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 4. Przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Z serii $\frac{\pi}{2} + k\pi$: $\frac{\pi}{2}$ ($k = 0$) i $\frac{3\pi}{2}$ ($k = 1$). Z serii $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$: $\frac{\pi}{3}$. Z serii $-\frac{\pi}{3} + 2k\pi$: $\frac{5\pi}{3}$ ($k = 1$).

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ lub $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$: $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{3}$.

Uwaga - typowy błąd: podzielenie równania przez $\cos x$ daje od razu $2\cos x = 1$, ale gubi rozwiązania $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$. Dla nich $\cos x = 0$, a przez zero dzielić nie wolno - a przecież $2 \cdot 0^2 = 0$, więc równanie jest spełnione.