Równanie √3 sin x − cos x = 1 - sprowadzenie do jednego sinusa

Krok 1. Współczynnik $R$. Lewa strona ma postać $a\sin x + b\cos x$ z $a = \sqrt{3}$, $b = -1$, więc $R = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$. Dzielimy równanie przez 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}.$

Krok 2. Rozpoznanie wzoru. $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{\pi}{6}$ i $\frac{1}{2} = \sin\frac{\pi}{6}$, więc lewa strona to sinus różnicy kątów:

$\sin x\cos\frac{\pi}{6} - \cos x\sin\frac{\pi}{6} = \sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.$

Krok 3. Równanie elementarne z argumentem $x - \frac{\pi}{6}$:

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.$

Stąd $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $x = \frac{\pi}{3}$: $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$. Dla $x = \pi$: $\sqrt{3} \cdot 0 - (-1) = 1$.

Krok 5. Przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Z obu serii dla $k = 0$: $\frac{\pi}{3}$ i $\pi$; dla $k = 1$ liczby wychodzą już poza $2\pi$.

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = \pi + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$: $\frac{\pi}{3}$ i $\pi$.

Uwaga: podniesienie równania do kwadratu ($3\sin^2 x = (1 + \cos x)^2$) też prowadzi do celu, ale dokłada fałszywe rozwiązania (np. $x = \frac{5\pi}{3}$, dla którego lewa strona wynosi $-2$), które trzeba potem odsiać. Sprowadzenie do jednego sinusa tego problemu nie ma.