Równanie 2sin²x − sin x − 1 = 0 w przedziale ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Podstawienie. Niech $t = \sin x$, przy czym $t \in \langle -1;\ 1\rangle$. Równanie przyjmuje postać

$2t^2 - t - 1 = 0.$

Krok 2. Równanie kwadratowe. $\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$:

$t_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}, \qquad t_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1.$

Oba pierwiastki należą do $\langle -1;\ 1\rangle$, więc żadnego nie odrzucamy.

Krok 3. $\sin x = 1$. Sinus przyjmuje wartość 1 tylko w szczycie sinusoidy: $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. W przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$: $x = \frac{\pi}{2}$.

Krok 4. $\sin x = -\frac{1}{2}$. Kąt pomocniczy: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Sinus jest ujemny w III i IV ćwiartce, więc

$x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} \qquad \text{lub} \qquad x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}.$

Krok 5. Sprawdzenie dla $x = \frac{7\pi}{6}$: $2 \cdot \frac{1}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right) - 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0$.

Odpowiedź. $x \in \left\{ \frac{\pi}{2},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6} \right\}$.

Uwaga: częsty błąd to $x = -\frac{\pi}{6}$ jako rozwiązanie $\sin x = -\frac{1}{2}$ - ta liczba spełnia równanie, ale nie należy do przedziału $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Jej odpowiednikiem w przedziale jest $-\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$.