Równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 - grupowanie i suma sinusów

Krok 1. Grupowanie. Łączymy skrajne składniki - ich połowa sumy kątów to $2x$, czyli kąt środkowego składnika:

$\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x\cos x.$

Krok 2. Wspólny czynnik. Równanie przyjmuje postać

$2\sin 2x\cos x + \sin 2x = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin 2x\,(2\cos x + 1) = 0.$

Krok 3. Pierwszy czynnik. $\sin 2x = 0$ daje $2x = k\pi$, czyli $x = \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Krok 4. Drugi czynnik. $2\cos x + 1 = 0$, czyli $\cos x = -\frac{1}{2}$. Kąt pomocniczy $\frac{\pi}{3}$, cosinus ujemny w II i III ćwiartce:

$x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 5. Przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Z serii $\frac{k\pi}{2}$ ($k = 0, 1, 2, 3, 4$): $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$. Z pozostałych: $\frac{2\pi}{3}$ oraz $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Liczby z różnych serii się nie powtarzają.

Krok 6. Sprawdzenie dla $x = \frac{2\pi}{3}$: $\sin\frac{2\pi}{3} + \sin\frac{4\pi}{3} + \sin 2\pi = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 = 0$.

Odpowiedź. $x = \frac{k\pi}{2}$ lub $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$. W przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ jest siedem rozwiązań: $0$, $\frac{\pi}{2}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\pi$, $\frac{4\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{2}$, $2\pi$.

Uwaga: połączenie innej pary, np. $\sin x + \sin 2x$, daje kąty $\frac{3x}{2}$ i $\frac{x}{2}$, które z trzecim składnikiem nie tworzą wspólnego czynnika. Grupujemy tak, żeby połowa sumy kątów była równa kątowi pozostałego składnika.