Promień i wysokość walca z pola bocznego i objętości

Krok 1. Dwa równania. Ze wzorów na pole boczne i objętość:

$$2\pi r H = 48\pi, \qquad \pi r^2 H = 96\pi.$$

Krok 2. Dzielimy równania stronami. Iloraz objętości przez pole boczne nie zależy od $H$:

$$\frac{\pi r^2 H}{2\pi r H} = \frac{r}{2} = \frac{96\pi}{48\pi} = 2 \quad\Longrightarrow\quad r = 4.$$

Krok 3. Wysokość. Z pierwszego równania: $2\pi \cdot 4 \cdot H = 48\pi$, czyli $H = 6$. Sprawdzenie: $\pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$.

Krok 4. Pole całkowite.

$$P_c = 2\pi r^2 + P_b = 2\pi \cdot 16 + 48\pi = 80\pi.$$

Odpowiedź. $r = 4$, $H = 6$, $P_c = 80\pi$.

Zależność $\frac{V}{P_b} = \frac{r}{2}$ pozwala odczytać promień od razu - to wygodny skrót w zadaniach odwrotnych z lekcji walec.