Czy ciąg aₙ = n² − 7n + 3 jest monotoniczny? Od którego wyrazu rośnie?

Krok 1. Różnica kolejnych wyrazów.

$a_{n+1} - a_n = (n + 1)^2 - 7(n + 1) + 3 - (n^2 - 7n + 3) = 2n + 1 - 7 = 2n - 6$

Krok 2. Znak różnicy zależy od $n$.

• $n = 1$: $2n - 6 = -4 < 0$, więc $a_2 < a_1$;
• $n = 2$: $-2 < 0$, więc $a_3 < a_2$;
• $n = 3$: $0$, więc $a_4 = a_3$;
• $n \geq 4$: $2n - 6 > 0$, więc $a_{n+1} > a_n$.

Wyrazy: $a_1 = -3$, $a_2 = -7$, $a_3 = -9$, $a_4 = -9$, $a_5 = -7$, $\dots$

Krok 3. Wniosek (część a). Ciąg najpierw maleje ($a_1 > a_2$), a potem rośnie ($a_4 < a_5$). Nie jest więc ani nierosnący, ani niemalejący. Ten jeden kontrprzykład wystarcza.

Krok 4. Część b. Nierówność $a_{n+1} > a_n$ zachodzi dla każdego $n \geq 4$, czyli $a_4 < a_5 < a_6 < \dots$ Dla $n = 3$ jest równość $a_3 = a_4$.

Odpowiedź. a) Ciąg nie jest monotoniczny. b) Ciąg jest rosnący od wyrazu czwartego (od wyrazu trzeciego jest niemalejący).

Takie zachowanie widać ze wzoru: $a_n$ to wartości paraboli o wierzchołku w $x = 3{,}5$. Numery $3$ i $4$ leżą symetrycznie wokół wierzchołka, dlatego $a_3 = a_4$ i to są najmniejsze wyrazy.