Największy wyraz ciągu aₙ = n/(n² + 6) - monotoniczność i ekstremum

Krok 1. Różnica kolejnych wyrazów. $(n + 1)^2 + 6 = n^2 + 2n + 7$, więc

$a_{n+1} - a_n = \frac{n + 1}{n^2 + 2n + 7} - \frac{n}{n^2 + 6} = \frac{(n + 1)(n^2 + 6) - n(n^2 + 2n + 7)}{(n^2 + 2n + 7)(n^2 + 6)}$

Krok 2. Licznik.

$(n^3 + n^2 + 6n + 6) - (n^3 + 2n^2 + 7n) = -n^2 - n + 6 = -(n + 3)(n - 2)$

Mianownik jest dodatni, a $n + 3 > 0$, więc znak różnicy to znak wyrażenia $-(n - 2)$:

• $n = 1$: różnica dodatnia, $a_2 > a_1$;
• $n = 2$: różnica równa zeru, $a_3 = a_2$;
• $n \geq 3$: różnica ujemna, $a_{n+1} < a_n$.

Krok 3. Wyrazy.

$a_1 = \frac{1}{7}, \quad a_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}, \quad a_3 = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}, \quad a_4 = \frac{4}{22} = \frac{2}{11}$

Ciąg rośnie od $a_1$ do $a_2$, potem $a_2 = a_3$, a od $a_3$ maleje.

Krok 4. Wnioski. Skoro $a_1 < a_2$ i $a_3 > a_4$, ciąg nie jest monotoniczny. Największe są wyrazy, w których kończy się wzrost: $a_2 = a_3 = \frac{1}{5}$. Wszystkie wcześniejsze są od nich mniejsze (wzrost), a wszystkie późniejsze - też (spadek).

Odpowiedź. a) Ciąg nie jest monotoniczny (jest malejący od wyrazu trzeciego). b) Największy wyraz to $\frac{1}{5}$ - przyjmują go dwa wyrazy, $a_2$ i $a_3$.

Taki sam schemat działa przy każdym zadaniu „znajdź największy wyraz”: ustal, dla jakich $n$ ciąg rośnie, a dla jakich maleje - największy wyraz leży na przełomie.