Parametr: dla jakich m ciąg aₙ = ((2m − 1)n + 4)/(n + 1) jest rosnący?

Dla wygody oznaczmy $p = 2m - 1$. Wtedy $a_n = \frac{pn + 4}{n + 1}$.

Krok 1. Wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1} = \frac{p(n + 1) + 4}{n + 2} = \frac{pn + p + 4}{n + 2}$

Krok 2. Różnica - wspólny mianownik.

$a_{n+1} - a_n = \frac{(pn + p + 4)(n + 1) - (pn + 4)(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}$

Licznik wymnażamy:

$(pn^2 + 2pn + p + 4n + 4) - (pn^2 + 2pn + 4n + 8) = p - 4$

więc

$a_{n+1} - a_n = \frac{p - 4}{(n + 1)(n + 2)} = \frac{2m - 5}{(n + 1)(n + 2)}$

Krok 3. Znak różnicy. Mianownik jest dodatni dla każdego $n$, a licznik nie zależy od $n$. O monotoniczności decyduje więc tylko znak $2m - 5$:

• $2m - 5 > 0 \iff m > \frac{5}{2}$ - ciąg rosnący;
• $m = \frac{5}{2}$ - ciąg stały (wtedy $a_n = \frac{4n + 4}{n + 1} = 4$);
• $m < \frac{5}{2}$ - ciąg malejący.

Odpowiedź. Ciąg jest rosnący dla $m \in \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$, stały dla $m = \frac{5}{2}$ i malejący dla $m \in \left(-\infty, \frac{5}{2}\right)$.

Kontrola dla $m = 3$: $a_n = \frac{5n + 4}{n + 1}$, wyrazy $\frac{9}{2} = 4{,}5$, $\frac{14}{3} \approx 4{,}67$, $\frac{19}{4} = 4{,}75$ - rosną, zgodnie z odpowiedzią.