Metoda ilorazu: monotoniczność ciągu aₙ = 5ⁿ/(n + 1)

Różnica $a_{n+1} - a_n$ prowadzi tu do niewygodnego wyrażenia z potęgami. Wszystkie wyrazy są dodatnie (licznik i mianownik są dodatnie), więc możemy porównać iloraz kolejnych wyrazów z jedynką.

Krok 1. Wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1} = \frac{5^{n+1}}{n + 2}$

Krok 2. Iloraz. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność; $5^{n+1} = 5 \cdot 5^n$:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{n + 2} \cdot \frac{n + 1}{5^n} = \frac{5(n + 1)}{n + 2}$

Krok 3. Porównanie z jedynką.

$\frac{5(n + 1)}{n + 2} > 1 \iff 5n + 5 > n + 2 \iff 4n > -3$

To prawda dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$ (mnożyliśmy przez dodatnie $n + 2$, więc znak nierówności się nie zmienił).

Krok 4. Wniosek. $\frac{a_{n+1}}{a_n} > 1$ i $a_n > 0$, więc $a_{n+1} > a_n$.

Odpowiedź. Ciąg jest rosnący. Pierwsze wyrazy: $a_1 = \frac{5}{2}$, $a_2 = \frac{25}{3}$, $a_3 = \frac{125}{4}$.

Metoda ilorazu działa tylko dla ciągów o wyrazach dodatnich. Gdyby wyrazy były ujemne, iloraz większy od $1$ oznaczałby ciąg malejący.