Wykaż, że ciąg aₙ = n² + 4n jest rosnący

Krok 1. Wyraz $a_{n+1}$.

$a_{n+1} = (n + 1)^2 + 4(n + 1) = n^2 + 2n + 1 + 4n + 4 = n^2 + 6n + 5$

Krok 2. Różnica.

$a_{n+1} - a_n = (n^2 + 6n + 5) - (n^2 + 4n) = 2n + 5$

Krok 3. Znak różnicy. Dla $n \geq 1$ mamy $2n + 5 \geq 7 > 0$. Zatem $a_{n+1} > a_n$ dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$.

Odpowiedź. Różnica $a_{n+1} - a_n = 2n + 5$ jest dodatnia dla każdego $n$, więc ciąg jest rosnący, co należało wykazać.

Policzenie wyrazów $5, 12, 21, 32, \dots$ pokazuje, że ciąg wygląda na rosnący, ale nie jest dowodem - kilka wyrazów nie mówi nic o pozostałych. Dowodem jest dopiero nierówność z kroku 3, prawdziwa dla wszystkich $n$.