Monotoniczność ciągu aₙ = (3n − 1)/(n + 2) - wspólny mianownik

Krok 1. Wyraz $a_{n+1}$. Wstawiamy $n + 1$ w liczniku i w mianowniku:

$a_{n+1} = \frac{3(n + 1) - 1}{(n + 1) + 2} = \frac{3n + 2}{n + 3}$

Krok 2. Różnica - wspólny mianownik.

$a_{n+1} - a_n = \frac{3n + 2}{n + 3} - \frac{3n - 1}{n + 2} = \frac{(3n + 2)(n + 2) - (3n - 1)(n + 3)}{(n + 2)(n + 3)}$

Licznik:

$(3n^2 + 8n + 4) - (3n^2 + 8n - 3) = 7$

Zatem

$a_{n+1} - a_n = \frac{7}{(n + 2)(n + 3)}$

Krok 3. Znak. Licznik $7$ jest dodatni, a mianownik jest iloczynem dwóch liczb dodatnich (bo $n \geq 1$). Różnica jest więc dodatnia dla każdego $n \in \mathbb{N}_+$.

Odpowiedź. Ciąg jest rosnący. Pierwsze wyrazy: $a_1 = \frac{2}{3}$, $a_2 = \frac{5}{4}$, $a_3 = \frac{8}{5}$.

Uwaga: przy odejmowaniu ułamków minus stoi przed całym iloczynem $(3n - 1)(n + 3)$ - dlatego najpierw wymnażamy go w nawiasie, a dopiero potem odejmujemy.