Pole czworokąta opisanego na okręgu o promieniu 4 - wzór P = r · p

Krok 1. Suma przeciwległych boków. W czworokącie opisanym na okręgu $|AB| + |CD| = |BC| + |DA|$. Obie sumy razem dają obwód, więc każda jest równa połowie obwodu:

$|AB| + |CD| = |BC| + |DA| = \frac{34}{2} = 17.$

Krok 2. Brakujące boki.

$|CD| = 17 - 6 = 11, \qquad |DA| = 17 - 9 = 8.$

Sprawdzenie: $6 + 9 + 11 + 8 = 34$.

Krok 3. Wzór na pole. Łączymy środek $O$ okręgu z wierzchołkami. Czworokąt dzieli się na cztery trójkąty $ABO$, $BCO$, $CDO$, $DAO$. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku, więc wysokość każdego z nich ma długość $r$:

$P = \frac{1}{2} r \cdot |AB| + \frac{1}{2} r \cdot |BC| + \frac{1}{2} r \cdot |CD| + \frac{1}{2} r \cdot |DA| = r \cdot p,$

gdzie $p$ to połowa obwodu.

Krok 4. Pole.

$P = 4 \cdot 17 = 68.$

Uwaga: we wzorze jest połowa obwodu. Pomnożenie promienia przez cały obwód daje dwa razy za dużo ($136$).

Odpowiedź. $|CD| = 11$, $|DA| = 8$, pole czworokąta wynosi $68$.