Trapez z okręgiem wpisanym i opisanym - kąt 60°, r = √3, promień R

Krok 1. Wysokość i ramię. Okrąg wpisany jest styczny do obu podstaw, więc $h = 2r = 2\sqrt{3}$. Wysokość opuszczona z $D$ tworzy z ramieniem $c$ trójkąt prostokątny z kątem $60^\circ$ przy $A$:

$c = \frac{h}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4, \qquad x = c \cdot \cos 60^\circ = 2,$

gdzie $x$ to rzut ramienia na dłuższą podstawę.

Krok 2. Podstawy. Z warunku okręgu wpisanego $a + b = 2c = 8$, a z rzutów ramion $a - b = 2x = 4$. Dodając i odejmując równania:

$a = 6, \qquad b = 2.$

Sprawdzenie wzorem $h^2 = ab$: $(2\sqrt{3})^2 = 12 = 6 \cdot 2$.

Krok 3. Pole.

$P = \frac{6 + 2}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}.$

Krok 4. Przekątna. Rzut $D$ na $AB$ leży $2$ od $A$, więc $4$ od $B$:

$|BD| = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}.$

Krok 5. Promień okręgu opisanego. Trapez równoramienny można wpisać w okrąg, a ten okrąg jest opisany na trójkącie $ABD$. Z twierdzenia sinusów:

$2R = \frac{|BD|}{\sin 60^\circ} = \frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{7}}{\sqrt{3}}, \qquad R = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3} \approx 3{,}06.$

Uwaga: środki obu okręgów leżą na osi symetrii trapezu, ale się nie pokrywają - środek okręgu wpisanego jest w połowie wysokości, a opisanego niżej, $\frac{\sqrt{3}}{3}$ nad dłuższą podstawą.

Odpowiedź. Podstawy mają długości $6$ i $2$, ramię $4$, pole wynosi $8\sqrt{3}$, a promień okręgu opisanego $R = \frac{2\sqrt{21}}{3}$.