Trapez równoramienny opisany na okręgu o promieniu 4 - wzór h² = ab

Krok 1. Wysokość. Okrąg jest styczny do obu podstaw, więc wysokość to średnica: $h = 2r = 8$.

Krok 2. Ramię z odcinków stycznych. Niech okrąg dotyka podstaw w ich środkach (oś symetrii), a ramienia $BC$ w punkcie $K$. Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu są równe, więc $|BK| = \frac{a}{2}$ (połowa $AB$) i $|CK| = \frac{b}{2}$ (połowa $CD$). Ramię ma długość

$|BC| = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a + b}{2}.$

Krok 3. Związek $h^2 = ab$. Wysokość z $C$ odcina na $AB$ odcinek $\frac{a - b}{2}$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$\left(\frac{a + b}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad h^2 = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4} = ab.$

Krok 4. Krótsza podstawa. Podstawiamy $h = 8$ i $a = 16$:

$64 = 16 \cdot b \quad\Longrightarrow\quad b = 4.$

Krok 5. Ramię i pole.

$|BC| = \frac{16 + 4}{2} = 10, \qquad P = \frac{16 + 4}{2} \cdot 8 = 80.$

Sprawdzenie: rzut ramienia na podstawę ma $\frac{16 - 4}{2} = 6$, a $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$. Także $P = r \cdot p = 4 \cdot \frac{16 + 4 + 10 + 10}{2} = 80$.

Odpowiedź. Krótsza podstawa ma długość $4$, ramię $10$, a pole trapezu wynosi $80$.