Trapez prostokątny opisany na okręgu - podstawy 15 i 10, wysokość i promień

Krok 1. Oznaczenia. Krótsze ramię $AD$ jest prostopadłe do podstaw, więc jest wysokością $h$. Dłuższe ramię $BC$ oznaczmy $c$.

Krok 2. Warunek okręgu wpisanego. Sumy przeciwległych boków są równe:

$15 + 10 = h + c \quad\Longrightarrow\quad c = 25 - h.$

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa. Wysokość opuszczona z $C$ odcina na dłuższej podstawie odcinek $15 - 10 = 5$, więc $c^2 = h^2 + 5^2$:

$(25 - h)^2 = h^2 + 25 \quad\Longrightarrow\quad 625 - 50h + h^2 = h^2 + 25 \quad\Longrightarrow\quad 50h = 600 \quad\Longrightarrow\quad h = 12.$

Stąd $c = 25 - 12 = 13$. Sprawdzenie: $12^2 + 5^2 = 169 = 13^2$.

Krok 4. Promień. Okrąg jest styczny do obu podstaw, które są równoległe, więc odległość między nimi to średnica: $h = 2r$, czyli

$r = \frac{12}{2} = 6.$

Krok 5. Pole.

$P = \frac{15 + 10}{2} \cdot 12 = 150.$

Sprawdzenie wzorem $P = r \cdot p$: połowa obwodu to $\frac{15 + 10 + 12 + 13}{2} = 25$, a $6 \cdot 25 = 150$.

Odpowiedź. Wysokość wynosi $12$, dłuższe ramię $13$, promień okręgu wpisanego $6$, a pole trapezu $150$.