Okrąg wpisany w deltoid o bokach 13 i 15 - promień i położenie środka

Krok 1. Okrąg da się wpisać. Sumy przeciwległych boków: $|AB| + |CD| = 13 + 15 = 28$ i $|BC| + |DA| = 15 + 13 = 28$. Są równe - i tak jest w każdym deltoidzie, bo przeciwległe boki to zawsze jeden krótszy i jeden dłuższy.

Krok 2. Przekątna $AC$. Przekątne deltoidu są prostopadłe, a oś symetrii $AC$ dzieli $BD$ na połowy po $12$. Niech $S$ będzie punktem przecięcia przekątnych. Z twierdzenia Pitagorasa:

$|AS| = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5, \qquad |SC| = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9, \qquad |AC| = 5 + 9 = 14.$

Krok 3. Pole.

$P = \frac{|AC| \cdot |BD|}{2} = \frac{14 \cdot 24}{2} = 168.$

Krok 4. Promień. Ze wzoru $P = r \cdot p$, gdzie $p = \frac{13 + 13 + 15 + 15}{2} = 28$:

$r = \frac{P}{p} = \frac{168}{28} = 6.$

Krok 5. Odległość środka od $A$. Środek $I$ leży na osi symetrii $AC$ i jest odległy o $r = 6$ od boku $AD$. W trójkącie prostokątnym $AKI$ ($K$ - punkt styczności na $AD$) kąt przy $A$ jest taki sam jak w trójkącie $ASD$, więc

$\sin|\angle DAS| = \frac{|DS|}{|AD|} = \frac{12}{13}, \qquad |AI| = \frac{r}{\sin|\angle DAS|} = \frac{6}{\frac{12}{13}} = 6{,}5.$

Środek leży więc na przekątnej $AC$, $6{,}5$ od $A$ i $14 - 6{,}5 = 7{,}5$ od $C$ - nie w punkcie przecięcia przekątnych.

Odpowiedź. $|AC| = 14$, pole wynosi $168$, promień okręgu wpisanego $r = 6$, a środek okręgu leży na przekątnej $AC$ w odległości $6{,}5$ od wierzchołka $A$.