Odcinki styczne w czworokącie opisanym na okręgu - brakujący bok z |AK| = 3

Szkoła średnia średnie

Czworokąt $ABCD$ jest opisany na okręgu, który jest styczny do boków $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ odpowiednio w punktach $K$ , $L$ , $M$ i $N$ . Wiadomo, że $|AB| = 8$ , $|BC| = 11$ , $|CD| = 7$ oraz $|AK| = 3$ . Oblicz długości odcinków $BL$ , $CM$ , $DN$ , długość boku $DA$ i obwód czworokąta.

Czworokąt ABCD opisany na okręgu. K, L, M, N to punkty styczności z bokami AB, BC, CD, DA.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Twierdzenie o odcinkach stycznych. Dwa odcinki styczne poprowadzone do okręgu z tego samego punktu mają równe długości. Z każdego wierzchołka wychodzą dwa takie odcinki:

$|AK| = |AN|, \quad |BK| = |BL|, \quad |CL| = |CM|, \quad |DM| = |DN|.$

Krok 2. Idziemy dookoła czworokąta.

$|BK| = |AB| - |AK| = 8 - 3 = 5$ , więc $|BL| = 5$ ;
$|CL| = |BC| - |BL| = 11 - 5 = 6$ , więc $|CM| = 6$ ;
$|DM| = |CD| - |CM| = 7 - 6 = 1$ , więc $|DN| = 1$ ;
$|AN| = |AK| = 3$ .

Krok 3. Czwarty bok.

$|DA| = |DN| + |NA| = 1 + 3 = 4.$

Krok 4. Obwód i sprawdzenie.

$L = 8 + 11 + 7 + 4 = 30.$

Warunek okręgu wpisanego: $|AB| + |CD| = 8 + 7 = 15$ oraz $|BC| + |DA| = 11 + 4 = 15$ - zgadza się, bo każda z tych sum zawiera po jednym odcinku stycznym z każdego wierzchołka ( $3 + 5 + 6 + 1$ ).

Odpowiedź. $|BL| = 5$ , $|CM| = 6$ , $|DN| = 1$ , $|DA| = 4$ , a obwód czworokąta wynosi $30$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →