Czy w czworokąt można wpisać okrąg? Warunek a + c = b + d w czterech przykładach

Szkoła średnia łatwe

Rozstrzygnij, czy w dany czworokąt wypukły można wpisać okrąg:

a) czworokąt $ABCD$ , w którym $|AB| = 5$ , $|BC| = 7$ , $|CD| = 9$ , $|DA| = 7$ ;

b) prostokąt o bokach $4$ i $6$ ;

c) romb o boku $3$ i kącie $40^\circ$ ;

d) czworokąt $ABCD$ , w którym $|AB| = 8$ , $|BC| = 3$ , $|CD| = 5$ , $|DA| = 9$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Warunek. W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:

$|AB| + |CD| = |BC| + |DA|.$

Przeciwległe są boki, które nie mają wspólnego wierzchołka: $AB$ z $CD$ oraz $BC$ z $DA$ .

Krok 2. Punkt a).

$|AB| + |CD| = 5 + 9 = 14, \qquad |BC| + |DA| = 7 + 7 = 14.$

Sumy są równe - okrąg da się wpisać.

Krok 3. Punkt b). W prostokącie przeciwległe boki są równe, więc sumy to $4 + 4 = 8$ i $6 + 6 = 12$ . Okręgu wpisać się nie da. Prostokąt spełnia warunek tylko wtedy, gdy $2a = 2b$ , czyli gdy jest kwadratem.

Krok 4. Punkt c). Romb ma wszystkie boki równe: $3 + 3 = 3 + 3$ . Warunek zachodzi, więc w każdy romb - niezależnie od kąta - można wpisać okrąg. Kąt $40^\circ$ jest tu zbędną daną; przyda się dopiero do obliczenia promienia.

Krok 5. Punkt d).

$|AB| + |CD| = 8 + 5 = 13, \qquad |BC| + |DA| = 3 + 9 = 12.$

Sumy są różne - okręgu wpisać się nie da. Częsty błąd to dodawanie boków sąsiednich: $8 + 3$ i $5 + 9$ albo $8 + 9$ i $3 + 5$ nic nie mówią o okręgu wpisanym.

Odpowiedź. Okrąg można wpisać w czworokąty z punktów a) i c); w prostokąt z punktu b) i czworokąt z punktu d) - nie.

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →