Wyznacz a i b, gdy funkcja ma w x = 1 ekstremum równe −3

Krok 1. Dwa warunki - dwa równania. Zdanie „w $x = 1$ jest ekstremum równe $-3$” zawiera dwie informacje:

• ekstremum w $x = 1$, więc (warunek konieczny) $f'(1) = 0$;
• jego wartość to $-3$, więc $f(1) = -3$.

Pochodna: $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$. Stąd układ:

$$\begin{cases} 3 + 2a + b = 0 \\ 1 + a + b = -3 \end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu. Odejmujemy stronami drugie równanie od pierwszego: $2 + a = 3$, więc $a = 1$. Z drugiego równania $b = -4 - a = -5$.

Krok 3. Sprawdzenie warunku wystarczającego. Dla $a = 1$, $b = -5$:

$$f(x) = x^3 + x^2 - 5x, \qquad f'(x) = 3x^2 + 2x - 5 = (3x + 5)(x - 1)$$

Pochodna ma pierwiastki jednokrotne $x = -\frac{5}{3}$ i $x = 1$, a parabola $f'$ ma ramiona skierowane w górę.

Kontrola znaków: $f'(-2) = 3$, $f'(0) = -5$, $f'(2) = 11$. W $x = 1$ znak zmienia się z $-$ na $+$, więc jest to minimum lokalne. Warunek z treści jest spełniony: $f(1) = 1 + 1 - 5 = -3$.

Krok 4. Drugie ekstremum. W $x = -\frac{5}{3}$ znak zmienia się z $+$ na $-$ - maksimum lokalne:

$$f\left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} = \frac{-125 + 75 + 225}{27} = \frac{175}{27}$$

Odpowiedź. $a = 1$, $b = -5$. W $x = 1$ jest minimum lokalne równe $-3$, a w $x = -\frac{5}{3}$ maksimum lokalne równe $\frac{175}{27} \approx 6{,}48$.

Krok 3 nie jest formalnością: sam układ z kroku 1 wynika tylko z warunku koniecznego. Gdyby dla wyliczonych $a$ i $b$ pochodna miała w $x = 1$ pierwiastek podwójny, ekstremum by tam nie było i zadanie nie miałoby rozwiązania.