Liczby czterocyfrowe o cyfrach rosnących - ukryta kombinacja

Krok 1. Zero odpada. W ciągu rosnącym najmniejsza cyfra stoi na początku. Gdyby w liczbie było zero, stałoby na pierwszym miejscu - a liczba czterocyfrowa nie zaczyna się od zera. Cyfry wybieramy więc tylko spośród $1, 2, \ldots, 9$.

Krok 2. Kluczowa obserwacja. Gdy wybierzemy cztery różne cyfry, istnieje dokładnie jeden sposób ustawienia ich rosnąco. Na przykład ze zbioru $\{7, 1, 9, 3\}$ powstaje tylko liczba $1379$. Każda szukana liczba odpowiada więc jednemu $4$-elementowemu podzbiorowi zbioru $\{1, \ldots, 9\}$ i odwrotnie.

Krok 3. Liczymy podzbiory. Kolejność wyboru nie ma znaczenia - to kombinacja:

$\binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24} = 126.$

Odpowiedź. Jest $126$ takich liczb.