Trzy gałki lodów z sześciu smaków - kombinacje z powtórzeniami

Krok 1. Rozpoznajemy model. Kolejność nie ma znaczenia, a elementy (smaki) mogą się powtarzać - to kombinacja z powtórzeniami: $k = 3$ gałki z $n = 6$ rodzajów.

Krok 2. Wzór.

$\overline{C}_6^3 = \binom{6 + 3 - 1}{3} = \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 56.$

Krok 3. Sprawdzenie przypadkami. Zamówienia dzielą się według liczby różnych smaków:

• trzy różne smaki: $\binom{6}{3} = 20$,
• dwa smaki (jeden podwójny): smak podwójny $6$ sposobów, pojedynczy $5$ sposobów - $30$,
• jeden smak (trzy takie same gałki): $6$.

Razem $20 + 30 + 6 = 56$ - zgadza się.

Uwaga o pułapce. Wynik $6^3 = 216$ liczy kolejność gałek (czekolada-truskawka-wanilia to co innego niż wanilia-czekolada-truskawka), a tu kolejności nie rozróżniamy.

Odpowiedź. Jest $56$ różnych zamówień.