Delegacja z co najmniej jednym chłopcem - kombinacje i dopełnienie

Krok 1. Strategia. Delegacje z co najmniej jednym chłopcem to wszystkie delegacje minus te, w których nie ma żadnego chłopca (same dziewczyny).

Krok 2. Wszystkie delegacje. $4$ osoby z $14$:

$\binom{14}{4} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{24} = 1001.$

Krok 3. Delegacje złożone z samych dziewcząt. $4$ z $8$:

$\binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} = 70.$

Krok 4. Odejmujemy.

$1001 - 70 = 931.$

Uwaga o pułapce. Rozumowanie „najpierw wybieram jednego chłopca ($6$ sposobów), potem dowolne $3$ osoby z pozostałych $13$” daje $6 \cdot \binom{13}{3} = 1716$ - za dużo, bo delegację z dwoma chłopcami liczy dwa razy (raz dla każdego z nich jako „pierwszego”).

Odpowiedź. Delegację można wybrać na $931$ sposobów.