Trapez równoramienny o prostopadłych przekątnych - pole trapezu

Krok 1. Symetria. Trapez równoramienny jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez środki podstaw. Przekątne przecinają się w punkcie $S$ na tej prostej, więc $|SA| = |SB|$ oraz $|SC| = |SD|$.

Krok 2. Dwa trójkąty prostokątne równoramienne. Trójkąt $ABS$ ma przy wierzchołku $S$ kąt prosty i równe ramiona $SA$ i $SB$ - jest więc połową kwadratu, a jego kąty przy podstawie mają po $45^\circ$. Tak samo trójkąt $CDS$.

Krok 3. Wysokości tych trójkątów. W trójkącie prostokątnym równoramiennym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną równa się jej połowie (to połowa przekątnej kwadratu). Zatem odległość $S$ od $AB$ wynosi $\frac{10}{2} = 5$, a od $CD$ - $\frac{4}{2} = 2$.

Krok 4. Wysokość trapezu to suma tych odległości:

$h = 5 + 2 = 7.$

Zauważ, że $h = \frac{10 + 4}{2}$ - w trapezie równoramiennym o prostopadłych przekątnych wysokość zawsze równa się linii środkowej.

Krok 5. Pole.

$P = \frac{10 + 4}{2} \cdot 7 = 7 \cdot 7 = 49.$

Sprawdzenie innym wzorem: przekątne mają długość $d = 7\sqrt{2}$ (bo $d^2 = 7^2 + 7^2$), a dla czworokąta o prostopadłych przekątnych $P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{98}{2} = 49$.

Odpowiedź. Wysokość trapezu wynosi $7$, a pole $49$.