Rozwinięcie (a − 2b)⁵ - wzór Newtona dla różnicy i znaki na przemian

Krok 1. Różnica to suma z ujemnym składnikiem. Zapisujemy $(a - 2b)^5 = \big(a + (-2b)\big)^5$ i stosujemy zwykły wzór Newtona z $b$ zastąpionym przez $-2b$. Współczynniki dla $n = 5$ to $1, 5, 10, 10, 5, 1$.

Krok 2. Wyraz ogólny.

$T_{k+1} = \binom{5}{k} a^{5-k} (-2b)^k = \binom{5}{k} (-2)^k a^{5-k} b^k, \qquad k = 0, 1, \ldots, 5.$

Czynnik $(-2)^k$ jest dodatni dla parzystych $k$ i ujemny dla nieparzystych - stąd znaki na przemian, zaczynając od plusa.

Krok 3. Kolejne wyrazy.

• $k = 0$: $1 \cdot 1 \cdot a^5 = a^5$,
• $k = 1$: $5 \cdot (-2) \cdot a^4 b = -10a^4b$,
• $k = 2$: $10 \cdot 4 \cdot a^3 b^2 = 40a^3b^2$,
• $k = 3$: $10 \cdot (-8) \cdot a^2 b^3 = -80a^2b^3$,
• $k = 4$: $5 \cdot 16 \cdot a b^4 = 80ab^4$,
• $k = 5$: $1 \cdot (-32) \cdot b^5 = -32b^5$.

Krok 4. Sprawdzenie. Dla $a = b = 1$ lewa strona to $(1 - 2)^5 = -1$, a suma współczynników $1 - 10 + 40 - 80 + 80 - 32 = -1$.

Odpowiedź.

$(a - 2b)^5 = a^5 - 10a^4b + 40a^3b^2 - 80a^2b^3 + 80ab^4 - 32b^5.$