Wyraz środkowy rozwinięcia (x² − 1/(2x))⁸

Krok 1. Ile jest wyrazów i który jest środkowy? Rozwinięcie $(a + b)^n$ ma $n + 1$ wyrazów. Dla $n = 8$ jest ich $9$, a środkowy jest piąty: $T_5$, czyli wyraz z $k = 4$.

Krok 2. Wyraz ogólny. Tu $a = x^2$, $b = -\frac{1}{2}x^{-1}$:

$T_{k+1} = \binom{8}{k} \left(x^2\right)^{8-k} \left(-\frac{1}{2}x^{-1}\right)^k = \binom{8}{k} \left(-\frac{1}{2}\right)^k x^{16-2k} \cdot x^{-k} = \binom{8}{k} \left(-\frac{1}{2}\right)^k x^{16-3k}.$

Krok 3. Podstawiamy $k = 4$.

$T_5 = \binom{8}{4} \left(-\frac{1}{2}\right)^4 x^{16-12} = 70 \cdot \frac{1}{16} \cdot x^4 = \frac{35}{8}x^4.$

Znak jest dodatni, bo $-\frac{1}{2}$ stoi w potędze parzystej. Uwaga: $2$ w mianowniku też podnosimy do potęgi - $\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$, a nie $\frac{1}{2}$.

Odpowiedź. Wyraz środkowy to $T_5 = \frac{35}{8}x^4$.