Współczynnik przy x⁴ w rozwinięciu (2x − 3)⁷ - wyraz ogólny

Krok 1. Wyraz ogólny. Dla $(a + b)^n$ wyraz o numerze $k + 1$ to $T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Tu $n = 7$, $a = 2x$, $b = -3$:

$T_{k+1} = \binom{7}{k} (2x)^{7-k} (-3)^k = \binom{7}{k} \cdot 2^{7-k} \cdot (-3)^k \cdot x^{7-k}.$

Krok 2. Które $k$ daje $x^4$? Wykładnik przy $x$ to $7 - k$, więc

$7 - k = 4 \quad \Longleftrightarrow \quad k = 3.$

Krok 3. Liczymy współczynnik dla $k = 3$.

$\binom{7}{3} \cdot 2^4 \cdot (-3)^3 = 35 \cdot 16 \cdot (-27) = -15\,120.$

Znak jest ujemny, bo $-3$ stoi w nieparzystej potędze. Najczęstszy błąd to pominięcie czynnika $2^4$ - współczynnik przy $x$ w nawiasie też podnosimy do potęgi.

Odpowiedź. Współczynnik przy $x^4$ wynosi $-15\,120$.